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数学中的思与美--读《Proofs from the book》有感

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《Proofs from the book》在国内译为《数学天书中的证明》,正如其名,这本书的主要内容就是介绍数学史上一些精巧绝妙的证明。 这本书从数论说到几何,到分析、组合数学以及图论,基本上涵盖了大学数学的所有内容。读懂这本书需要一些数学基础,但正如作者所说的,这不是一本教科书,也不是一本专著,而是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作,因此也未必需要完全看懂才能欣赏这本书。事实上,这本书我还有太多没看懂的地方,但是有时候看不懂也是一种乐趣。 数学是很有趣的,这是我一直以来的观点。当然大家普遍的认为数学的难度一定程度上掩盖了它的有趣,但是仔细想想,数学的困难好像应该是读者的缺点而不是数学的。读这一类数学“闲书”的好处就是我们不用像在数学考试一样想破头,所有细枝末节都去弄懂,就像欣赏一幅世界名画一样,看就好了。这本书里确实有足够多的有趣的部分,如果不喜欢看数学家们证明集合、函数以及连续统假设,用假设与矛盾证明二项式系数几乎非幂,用推论和归纳法证明一些绕来绕去的引理,我们还可以去看洗牌中的概率论,去了解一下要连续洗牌多少次才能让牌面变得随机这样的冷知识(事实上,要想把一幅52张卡片的牌混合得足够随机,需要多于nlogn≈105次的顶牌随机插入),或者去看看图论和线性代数是如何证明如果在一群人中任意两个人都恰好有一个共同的朋友,那么总有一个人是所有人的朋友,也就是一定会有一个交际花的存在。这些日常随处可见的现象在数学家的智慧下不再模糊而似是而非,一切都并非偶然,而是必然。 数学之美除了在他融于生活的趣味性,也在于他的浩瀚,他对于思维的拓展,对于思辨性的审美的培养。欧拉公式(eix=cosx+isinx)被德国数学家克莱因称为“整个数学中最卓越的公式之一”的公式,它的奇妙在于它将 0、1(算术),π(几何),e(分析学),i(代数)这五个数以及3种重要的数学运算结合在了一起。大一的数学分析课上教授就带我们赏析了这个公式,然而在很久以后我才真正感觉到它的美妙之处,而这只是卓越的公式其中之一,数学中的优秀思想数不胜数,无论哪一个都极富启迪性。正如看世界名画,看文学巨著可以培养美学审美,看数学闲书同样可以培养逻辑理性的审美。理工科类院校常常被说做感性不足而理性有余,需要多看人文社科类的作品,然而我认为人文感性并不仅仅只在于文学等,在这些公式里同样有着令人动容的地方,数学家们对于一个简单现象的证明的执着,对一个简单断言的反复印证推敲,里面闪耀着智慧的光芒以及对自然规律热烈而深沉的爱。